Jak si nezvrhnout pití

Krabice džusu ...aneb Problém těžiště krabice džusu. O co jde? Řeč je o běžné krabici džusu tvaru kvádru, jako je např. ta na obrázku. Intuitivní úvaha napoví, že čím více džusu se v krabici nachází, tím je nádoba méně stabilní. Náš problém je tuto závislost vyjádřit kvantitativně. Budeme řešit následující úlohu:

O jaký nejmenší úhel musíme krabici naklonit přes jednu z jejích hran, aby se převrhla na svou sousední stěnu?

Pokud vás nezajímají výpočty a chcete pouze vědět výsledky, přeskočte na závěr.

Model

Nechť má nádoba tvar kvádru a nechť stojí na vodorovném stole v homogenním gravitačním poli. Nechť je její obsah homogenní kapalinou (což pravý džus není, ale co naplat). Pro zjednodušení budeme předpokládat, že tloušťka stěn, jakož i hmotnost nádoby jsou zanedbatelné (nulové), zajímá nás pouze kapalina uvnitř. Dále budeme pracovat se statickým modelem, který nebere v úvahu pohyb nádoby nebo kapaliny uvnitř. Budeme pouze počítat, zda se krabice při daném úhlu náklonu již převrhne, nebo zda se vrátí do původní polohy.

Důležitým předpokladem bude, že nádoba nemá horní stěnu a je natolik vysoká, že nedojde k „vylití“ tekutiny před dosažením hledaného úhlu. Model má z toho důvodu dvojí omezení: jednak jsme omezeni určitou maximální velikostí úhlu náklonu a jednak nesmíme mít krabici plnou více jak z poloviny. Na vylepšení se pracuje ;-)

Protože nádoba je tvaru kvádru a my ji otáčíme okolo jedné z jejích vodorovných hran, můžeme promítnout celou situaci kolmo do jedné ze svislých stěn, které jsou na tuto hranu kolmé. Veškeré výpočty se tedy budou odehrávat v rovině, v kartézské soustavě souřadnic s počátkem v bodě otáčení krabice.

Poloha těžiště

Nákres krabice 2 Něchť h je výška hladiny ve stabilní poloze (krabice stojí na stole) a s je délka boční hrany. Pro „objem“ kapaliny v nádobě platí
Rovnice

Co se stane, když nádobu s džusem začneme otáčet o úhel α, je znázorněno na obrázku vlevo. Objem kapaliny je nyní součtem oranžové a žluté plochy a platí:
Rovnice

Co platí pro polohu těžiště T? Obecně lze říci, že
Rovnice
kde M je hmotnost celého tělesa, m1, m2, ..., mn, jsou hmotnosti jednotlivých částí tělesa a x1, x2, ..., xn, jsou x-ové (resp. y-ové) souřadnice těžišť těchto částí. V našem případě je první částí oranžový obdélník l1×s a druhou částí žlutý pravúhlý trojúhelník o odvěsnách s a (l2l1). Zde přichází na řadu náš předpoklad, že kapalina je homogenní a má, pro zjednodušení, jednotkovou hustotu. Vztahy pro hmotnost a objem jsou tím pádem v našem modelu identické.

Co můžeme říci o jednotlivých částech našeho tělesa? Těžištěm obdélníka je jeho střed. Souřadnice těžiště pravoúhlého trojúhelníka jsou jak známo třetinami délek jeho odvěsen. Shrňme tedy, co platí pro souřadnice těžiště celé soustavy:
Rovnice
Je třeba připomenout, že se jedná o souřadnice vzhledem ke krabici, neboli že celá souřadnicová soustava se otáčí spolu s krabicí kolem bodu R. Za okamžik odvodíme polohu těžiště vzhledem ke stolu, který zůstává na místě. Předtím, než to uděláme, je třeva upravit posledně uvedené vztahy na nějakou funkci jediných tří nám známých veličin, totiž s, h a α. Využijeme k tomu vztahy
Rovnice
Po drobných ;-) úpravách dostáváme následující vztahy:
Rovnice
které udávají relativní polohu těžiště v závislosti na původní výšce hladiny, délce boční hrany a úhlu, o který je krabice nakloněna.

Nákres krabice 3 Avšak pozor. Předchozí odvození je korektní, jen dokud lze polohu kapaliny modelovat prvním nákresem. Nevzali jsme v úvahu případ, kdy se hladina již nedotýká levé stěny nádoby, jak ukazuje druhý obrázek. Naštěstí odvození zde je již jednodušší. Kapalina zde totiž není tvaru lichoběžníka, nýbrž pravoúhlého trojúhelníka. Podívejme se na vztahy, které pro něj a jeho těžiště platí.

Již jsme zmínili, že souřadnice těžiště pravoúhlého trojúhelníka jsou třetinami délek jeho odvěsen, v našem případě tedy
Rovnice
Pomocí vztahů
Rovnice
dostaneme, analogicky k předchozímu postupu, žádané vztahy
Rovnice

Zbývá vyšetřit, kdy nastává první a kdy druhý případ. Je zřejmé, že ke změně předpisu funkce dochází při takovém úhlu náklonu, kde
Rovnice
Nazvěme tento úhel mezním úhlem αm. Snadno nahlédneme, že pro něj platí
Rovnice
Pro úhly náklonu α≤αm tedy nastává první případ a pro polohu těžiště kapaliny platí prvně uvedené vztahy. Pro úhly α>αm platí případ pozdější.

Nákres transformace Nyní odvodíme rovnice pro polohu těžitě krabice s džusem vzhledem k nějaké pevné soustavě souřadnic (např. stolu, na kterém nádoba stojí). Zaveďme kartézskou soustavu souřadnic s počátkem ve středu otáčení R, s vodorovnou osou x kolmou na vektor gravitace a svislou osou y orientovanou vzhůru. Nechť těžiště T má v této soustavě souřadnice [xy]. Z obrázku je patrné, jak tyto závisí na souřadnicích těžiště vzhledem ke krabici [txty;], jejichž vztahy jsme odvodili v předchozí části. Zřejmě je:
Rovnice
a to pro všechny úhly α, neboť relace mezi rotující a pevnou soustavou souřadnic zůstávají stejné nezávisle na tvaru kapaliny vevnitř krabice.

Pozn.: dosud jsme brali souřadnici tx jako kladné číslo (neboli vzdálenost těžiště od svislé stěny). V pevné soustavě souřadnic osa x směřuje „doprava“, jak je zvykem, tj. body vlevo od počátku mají již zápornou x-ovou souřadnici.

Souhrnný vztah pro x a y nebudeme uvádět, jednalo by se o pouhé dosazení bez možnosti výraz dále upravovat do přehlednějšího tvaru.

Kdy se zvrhne?

Nutná a postačující podmínka k tomu, aby nakloněná krabice s džusem spadla na boční stěnu, je zřejmá. Krabice je ukotvena jedině v ose otáčení (v naší projekci střed otáčení R). Stačí tedy, pokud se její těžiště vychýlí vpravo od této osy (neboli vpravo od bodu R). Při jakém úhlu tato situace nastane? Vyjádřeno matematicky, hledáme nejmenší úhel α takový, pro který
Rovnice
Tento úhel označme αz, úhel zlomu.

Dá se dokázat, že x jako funkce úhlu α je rostoucí a spojitá v [0;π/2), takže vlastně hledáme takové α, při kterém x=0. Chceme tedy
Rovnice
Nyní buď αz≤αm, nebo αzm. Nechť tedy nastane první možnost. Dosadíme za tx a ty a pak dále upravujeme. Výsledkem je rovnice třetího stupně s neznámou tg αz a parametrem s/h (podíl délky boční hrany a původní výšky hladiny):
Rovnice
Řešení kubických rovnic není příliš lákavá práce, ale naštěstí je rovnice již v redukovaném tvaru (tj. bez kvadratického členu). Bude mít pravděpodobně i nějaké imaginární kořeny, ale ty nás nezajímají. Důležitý je Cardanův vztah pro reálný kořen
Rovnice
do něhož dosadíme a po chvíli obdržíme hledaný vztah pro úhel zlomu. Ten je poměrně složitý a uvádíme ho spíše jen pro zajímavost:
Rovnice

Předchozí vztah platí jen v případě, že αz≤αm. Existuje i nějaké řešení splňující αzm? Dosaďme do „kritéria zvrhnutí“ x=0 alternativní předpisy relativních souřadnic těžiště tx, ty platných pro úhly náklonu větší než αm. Výsledkem je překvapivě rovnost
Rovnice
neboli αz=45°. Co to znamená? Upustíme-li od striktní matematické analýzy a spokojíme se s grafickým znázorněním hodnot αz a αm v závislosti na poměru s/h, uvidíme, že
Rovnice

Můžeme tedy vyslovit s konečnou platností podobu předpisu pro úhel zlomu αz:

Pokud poměr s/h<2, platí pro αz vztah uvedený výše jako řešení kubické rovnice. Pro s/h≥2 platí αz=45°. Krabice s daným obsahem džusu se převrátí, právě když ji nakloníme o úhel větší než αz.

Závěr

Náhled grafu Odvodili jsme vztah pro „úhel zlomu“, tj. nejmenší úhel, při kterém se krabice převrhne na sousední stěnu. Odvodili jsme, že pokud je délka boční hrany dva- nebo vícekrát delší než výška hladiny, úhel zlomu zůstává konstantní na hodnotě 45 stupňů.

Za povšimnutí stojí graf závislosti αz na poměru s/h (zobrazíte kliknutím sem nebo na malý obrázek vpravo). Vidíme z něj, že hodnoty αz jsou omezené shora hodnotou 45°. Za podmínky s≥2h je tedy krabice s džusem zároveň „nejstabilnější“ a dalším ubíráním obsahu kapaliny úhel zlomu již nemůžeme zvětšit. Znamená to také, že náklon větší než 45° povede vždy k převržení krabice, bez ohledu na množství džusu uvnitř. Modrá křivka znázorňuje (pro ilustraci) průběh velikosti mezního úhlu.

Dále je vidět, že αz jako funkce dvou kladných proměnných s a h je nerostoucí v h a neklesající v s. To potvrzuje hned dvě intuitivní úvahy: zaprvé, čím více džusu se v krabici nachází, tím spíše ji při vychýlení z rovnováhy zvrhneme na bok (stačí k tomu menší úhel). A zadruhé: pokud krabice nemá čtvercovou podstavu, je snazší ji převrátit přes delší hranu. Vybereme-li se totiž ze dvou hran tu delší, je vedlejší hrana kratší, takže máme menší s a tudíž i menší αz.

Dodatek – zmrzlý obsah

Řešení úlohy o zvrhnutí krabice s džusem nás může dovést na myšlenku, co se změní, pokud obsah nádoby nebude kapalný, nýbrž pevný. Formulujme tedy doplňující úlohu:

Jaký nejmenší úhel je zapotřebí ke zvrhnutí krabice se zmrzlým obsahem? Je tento větší než úhel zlomu z předchozí úlohy?

Tato úloha je již mnohem jednodušší. Těleso, s nímž pracujeme, je totiž pevné, a tak se souřadnice těžiště vzhledem „k němu samému“ (tj. vzhledem k otáčející se soustavě souřadnic) nemění. Platí:
Rovnice
Rovnice pro transformaci souřadnic do pevné soustavy jsou stejné jako předtím
Rovnice
a podmínky pro α'z rovněž. Hledáme tedy takové α'z, pro něž x=0. Po několika málo úpravách dostáváme ihned řešení úlohy:

Pro úhel zlomu α'z krabice s pevným obsahem platí
Rovnice
Krabice se převrátí, právě když ji nakloníme o úhel větší než α'z.

Náhled grafu Vynesme pro zajímavost graf závislosti tohoto úhlu na poměru s/h. Je vidět, že úhel potřebný k převrácení krabice s pevným obsahem je za každých okolností větší než úhel potřebný k převrácení klasické krabice s džusem z předchozí úlohy. Převrátit krabici se zmrzlým obsahem je tedy „těžší“. Navíc již neplatí, že krabici zaručeně zvrhneme při náklonu větším než 45° – α'z je rostoucí v s a blíží se limitně k 90°. Pro malé hodnoty s/h jsou úhly α'z velmi blízké hodnotám αz, jak je rovněž vidět z grafu.

Mikoláš Volek (mikolas@volek.cz)


Líbil se vám tento článek? Našli jste chybu – matematickou, věcnou, pravopysnou? Máte námět na podobný matematický problém ze života? Pište na mikolas@volek.cz :-)

Vloženo 10. prosince 2007
Počet přístupů: 979